Droite de Henry

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La droite de Henry est une méthode pour visualiser les chances qu'a une distribution d'être gaussienne. Elle permet de lire rapidement la moyenne et l'écart type d'une telle distribution.

[modifier] Principe

Si X est une variable gaussienne de moyenne \overline{x} et de variance σ2 et si N est une variable de loi normale centrée réduite, on a les égalités suivantes :

P(X < x) = P\left(\frac{X-\overline{x}}{\sigma} < \frac{x-\overline {x}}{\sigma}\right) = P(N < t) = \Phi(t), avec t = \frac{x-\overline{x}}{\sigma}

(on note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite).

Pour chaque valeur xi de la variable X, on peut (à l'aide d'une table de la fonction Φ) :

  • calculer P(X < xi)
  • en déduire ti tel que Φ(ti) = P(X < xi)

Si la variable est gaussienne, les points de coordonnées (xi ; ti) sont alignés sur la droite d'équation t = \frac{x-\overline{x}}{\sigma}.

[modifier] Exemple numérique

Lors d'un examen noté sur 20, on obtient les résultats suivants :

  • 10% des candidats ont obtenu moins de 4
  • 30% des candidats ont obtenu moins de 8
  • 60% des candidats ont obtenu moins de 12
  • 80% des candidats ont obtenu moins de 16

On cherche à déterminer si la distribution des notes est gaussienne, et, si oui, ce que valent son espérance et son écart type.

On connaît donc 4 valeurs xi, et, pour ces 4 valeurs, on connaît P(X < xi).

En utilisant la table wikisource : Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on détermine les ti correspondants :

xi P(X<xi) = Φ(ti) ti
4 0,10 -1,28
8 0,30 -0,525
12 0,60 0,255
16 0,80 0,84


Il suffit alors de tracer les points de coordonnées (xi ; ti).

Image:droite de Henry.png

Les points paraissent alignés ; la droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 11 et le coefficient directeur est (0,84 +1,28)/12 environ, ce qui donnerait un écart type de 12/2,12 = 5,7.

Cela laisse penser que la distribution est gaussienne de paramètres m, σ2, où m = 11 et σ = 5,7.