Langage formel mathématique

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Le langage formel mathématique est le langage formel utilisé en mathématiques pour représenter les concepts mathématiques.

Sommaire

[modifier] Introduction

Comme tous les autres langages formels, ce langage a pour but de retirer l'ambiguïté d'une proposition en la décomposant en un ensemble limité d'éléments dont l'agencement ne peut avoir qu'un unique sens.

Par exemple, pour dire que x vaut un, on utilisera :

x = 1

Ce langage permet aussi dans une moindre mesure de faciliter la communication entre des mathématiciens ne parlant pas la même langue. S'il ne remplace pas complètement le langage naturel, il permet d'exprimer les concepts mathématiques les plus complexes sous une forme qui est identique suivant les langues et les cultures, évitant ainsi les quiproquos sur les concepts mathématiques, par des gens ne maîtrisant pas toutes les subtilités grammaticales et syntaxiques de la langue de communication employée.

Malheureusement, certains concepts du langage formel mathématique restent spécifiques à une culture donnée. Ainsi, dans la littérature mathématique francophone, l'assertion A \subset B signifie « l'ensemble A est un sous-ensemble ou est égal à B » alors que dans la littérature mathématique anglophone, il signifiera plutôt « l'ensemble A est un sous-ensemble strict de B ».

La liste de symboles qui suit n'est pas exhaustive. Cependant, l'ensemble des symboles présentés ici sont utilisés de façon universelle dans la littérature mathématique francophone.

[modifier] Symboles ensemblistes

[modifier] Symbole d'appartenance

  • \in
Ce symbole indique que l'élément qui le précède est contenu dans l'ensemble qui le suit. a\in E s'ennonce, « a est élément de E », ou bien, « a appartient à E », ou encore, « E contient a ». La négation de a\in E est a\not \in E.
Exemple :
1 \in \{1,2,3,4,5\} signifie que l'élément 1 appartient à l'ensemble \left\{1,2,3,4,5\right\}.

[modifier] Inclus dans

  • \subset
Si E et F sont des ensembles, alors E \subset F est lu « E inclus dans F ». Cette notation signifie que tout élément de E est un élément de F. La négation de E \subset F est E \not \subset F.

[modifier] Ensemble vide

[modifier] Pour tout, quel que soit

  • \forall
\forall e_1 \in E_2,\quad e_3
Cet élément est un quantificateur, dit quantificateur universel. Il permet d'affirmer qu'une proposition est vraie ou fausse pour un ensemble de cas différents. Ici, la proposition est vraie si et seulement si e3 est vrai lorsque e1 prend chacune des valeurs de l'ensemble E2
Cette proposition peut se lire en français : « Pour tout élément e1 de l'ensemble E2, la proposition e3 est vraie. »
Elle peut aussi se lire : « Quel que soit l'élément e1 de l'ensemble E2, la proposition e3 est vraie. »
Remarque : si E désigne l'ensemble { a, b, c } et P(x) une proposition dépendant d'une variable x, alors :
(\forall x \in E,\quad P(x)) \Leftrightarrow (P(a)\wedge P(b)\wedge P(c)\wedge)
Exemple :
\forall x \in ]0,+\infty[, x > 0
Cette proposition se lit : « Pour tout nombre réel x compris entre 0 exclu et plus l'infini, x est plus grand que 0 ».

[modifier] Il existe

  • \exists
\exists e_1 \in E_2,\quad e_3
Cet élément est un quantificateur, dit quantificateur existentiel. Il permet d'affirmer qu'une proposition est vraie ou fausse pour au moins un cas d'un ensemble de cas différents et de nommer ce cas là. Ici, la proposition est vraie si et seulement s’il existe un élément e1 contenu dans l'ensemble E2, et que, pour cet élément e1 dans la proposition e3, cette proposition e3 soit vraie.
Cette proposition peut se lire en français : « Il existe au moins un élément e1 de l'ensemble E2 tel que la proposition e3 soit vraie. »
Remarque : si E désigne l'ensemble { a, b, c } et P( x) une proposition dépendant d'une variable x, alors :
(\exists x \in E,\quad P(x)) \Leftrightarrow (P(a)\vee P(b)\vee P(c)\vee)
Exemple :
\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 2
Cette proposition se lit « Il existe (au moins) un réel dont le carré soit 2 ». On peut noter que cette proposition est vraie et qu'il existe en fait 2 valeurs réelles de x vérifiant la proposition x2 = 2 qui sont \sqrt{2} et -\sqrt{2}

[modifier] Il existe un unique

  • \exists !\,
\exists ! e_1 \in E_2,\quad e_3
Cet élément est un quantificateur. Il permet d'affirmer qu'une proposition est vraie pour un unique cas d'un ensemble de cas différents et de nommer ce cas là. Ici, la proposition est vraie si et seulement s’il existe un élément e1 contenu dans l'ensemble E2, et que, pour cet élément e1 dans la proposition e3, cette proposition e3 soit vraie et que pour tout autre élément de E2, la proposition e3 soit fausse.
Cette proposition peut se lire en français : « Il existe un unique élément e1 de l'ensemble E2 tel que la proposition e3 soit vraie. »

[modifier] Symboles arithmétiques

Ces symbole sont utilisés pour simplifier l'écriture de longues séries (par exemple en évitant d'utiliser des pointillés). On utilise dans chacun de ces cas une variable dite variable muette qui va prendre des valeurs dans un ensemble précis. Cette variable muette va alors permettre la description d'un terme générique placé après le symbole.

[modifier] Somme

\sum (Lettre grecque : Sigma majuscule)
Exemple 
Si n est un entier strictement positif :
\sum_{k=1}^n k^2 =1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Ici k est la variable muette, elle prend ses valeurs dans l'ensemble [1,n](ensemble d'entiers). Le terme général de cette somme est k2.
Autre exemple 
Ω étant l'ensemble des nombres pairs positifs
\sum_{k\in\Omega,\ k<50} k^{2} = \sum_{k=0}^{24} (2k)^2
Ici k appartient à un ensemble défini par deux conditions : ses éléments sont des entiers positifs pairs et ils sont strictement plus petits que 50
Exemple de somme infinie 
\forall x \in \R,\ \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k}}{k!} = e^{x}
On aurait pu écrire de manière moins condensée :
1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{k}}{k!}+... =e^{x}

[modifier] Produit

\prod (Lettre grecque : Pi majuscule)

Ce symbole s'utilise de manière analogue au symbole somme.

Exemple
\prod_{k=1}^{n} \exp(k^{2}) = \exp\left(\sum_{k=1}^{n} k^{2}\right) = \exp\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)
On aurait pu écrire de manière moins condensée :
\exp(1^2)\cdot\exp(2^2)\cdot\exp(3^2)\cdot\ldots\cdot\exp(n^2) = \exp\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)

[modifier] Grand symbole

Il est d'usage d'utiliser un grand symbole pour simplifier l'écriture d'une opération repétée.

  • L'opération doit posséder un élément neutre et être associative et commutative.
  • La fonction succ doit être définie sur l'ensemble d'itération du calcul (variable muette itérable).

Implémentation des grands symboles en Caml :

op  : opération associée au grand symbole
i  : indice de départ du calcul
fin  : indice de fin
f  : calcul (fonction de i) sur lequel on applique l'opération
e  : neutre de l'opération
succ : successeur sur l'ensemble auquel appartiennent i et fin
 let rec bigOp op i fin f e succ =
   match i with
       i when i>fin -> e
     | i when i=fin -> f i
     | i -> op (f i) (bigOp op (succ(i)) fin f e succ);; 
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