Loi géométrique

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Une loi géométrique de paramètre p (0 < p < 1) correspond au modèle suivant :

On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p et celle d'échec q = 1 - p.

On renouvelle cette épreuve de manière indépendante jusqu'au premier succès. On appelle X la variable aléatoire donnant le rang du premier succès. Les valeurs de X sont les entiers naturels non nuls 1, 2,...

La probabilité que X = k est alors

p(k) = qk − 1p

On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.

Sommaire

[modifier] Calcul de p(k)

La probabilité p(k) correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k - 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de qk - 1p

[modifier] Espérance, variance, écart type

L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p est \frac{1}{p}

La variance est \frac{q}{p^2},

L'écart type est donc \frac{\sqrt{q}}{p}

[modifier] Date de mort, durée de vie

Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante :

P(V = k) = qkp pour k = 0, 1, ....
P(V \geq k) =q^k  = \mathrm{e}^{k\ln(q)}


Pour p petit, ln(1 - p) est voisin de -p donc

P(V \geq k) \approx  \mathrm{e}^{-pk}

où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle




Ci-contre : diagramme en bâtons de la loi de V et densité de la loi exponentielle de paramètre 1/10



[modifier] Voir aussi